Navier–Stokes, la singolarità è vicina

L’8 settembre OpenAI ha annunciato una dimostrazione della formazione di una singolarità in tempo finito per le equazioni tridimensionali di Navier–Stokes, accompagnata da una formalizzazione in Lean. Se confermata, costituirebbe la soluzione di uno dei sette Problemi del Millennio. Pubblichiamo un contributo di Marco Sammartino, che presenta il risultato, ne ricostruisce gli antecedenti matematici e riflette sul ruolo dell’intelligenza artificiale e sulle questioni aperte dalla nuova costruzione.

Le equazioni di Navier–Stokes ci aiutano a prevedere il moto dell’acqua e dell’aria, dalle correnti marine al flusso attorno a un’ala. Eppure, scritte per la prima volta da Navier nel 1822, custodiscono ancora una domanda fondamentale: un fluido inizialmente regolare può sviluppare una singolarità in un tempo finito? L’8 settembre OpenAI ha annunciato una dimostrazione che risponde positivamente per le equazioni tridimensionali con una forza esterna liscia. La costruzione affronta uno dei Problemi del Millennio del Clay Mathematics Institute ed è accompagnata da una formalizzazione in Lean, un linguaggio che permette di controllare le deduzioni matematiche mediante un calcolatore. Se la dimostrazione sarà confermata, stabilirà le alternative C e D dell’enunciato ufficiale del Problema del Millennio, formulato per il Clay Mathematics Institute da Charles Fefferman, nelle quali è ammessa una forza esterna liscia. Resta distinto, e più forte, il problema della formazione di singolarità senza forza esterna. È un annuncio di grande rilievo, la cui portata richiede ora l’esame e la comprensione della dimostrazione da parte della comunità.

Il punto decisivo è proprio la regolarità della forza. Nel preprint il fluido parte dalla quiete ed è mosso da una forza infinitamente differenziabile nello spazio e nel tempo, che agisce soltanto in una regione spaziale limitata. La forza e tutte le sue derivate restano limitate anche quando la velocità diventa illimitata: la singolarità non è nascosta nella sollecitazione esterna. L’energia cinetica totale rimane finita, mentre il moto più intenso si concentra in regioni sempre più piccole. Alla base della costruzione vi è un meccanismo di concentrazione e allungamento della struttura vorticosa. È imparentato con il cosiddetto stretching della vorticità, un fenomeno caratteristico dei fluidi tridimensionali: quando un vortice viene allungato e si assottiglia, la rotazione può intensificarsi, come accade, in un contesto fisico assai più complesso, nella formazione dei tornado. Tutto avviene nello spazio intero, senza pareti. La difficoltà sta nel far crescere questa concentrazione mantenendo regolare la forza, nonostante l’azione della viscosità, che tende a smorzare le variazioni del moto.

Questa storia ha radici precise. Diego Córdoba e Luis Martínez-Zoroa hanno sviluppato un programma in cui il moto si amplifica passando attraverso scale successive. Nel loro lavoro del 2023 sulle equazioni di Eulero (la versione ‘ideale’ di Navier–Stokes, senza viscosità: Eulero le scrisse nel 1752, nei suoi Principia motus fluidorum) la forza aveva una regolarità finita; una successiva estensione con Fan Zheng ha riguardato una versione di Navier–Stokes con dissipazione più debole di quella ordinaria. Il 7 settembre Levent Alpöge e Tristan Buckmaster hanno annunciato risultati con forza liscia per Eulero e altri modelli, ottenuti con un importante contributo di strumenti di intelligenza artificiale. Il passaggio annunciato per Navier–Stokes affronta anche la viscosità ordinaria. Per cogliere la novità bisogna dunque tenere insieme questi due aspetti: una forza completamente regolare e la presenza della consueta dissipazione viscosa.

La scuola italiana ha avuto un ruolo importante. Camillo De Lellis e László Székelyhidi hanno aperto una nuova prospettiva sulle equazioni di Eulero attraverso l’integrazione convessa, costruendo soluzioni deboli con fenomeni di non unicità e dissipazione anomala. Sara Daneri e Székelyhidi hanno poi introdotto i flussi di Mikado: profili oscillanti che consentono di prescrivere in anticipo l’effetto medio delle fluttuazioni (lo stress di Reynolds). Il nuovo preprint richiama esplicitamente questo lavoro come precedente metodologico. Le soluzioni deboli soddisfano le equazioni in senso integrale e possono essere molto irregolari; seguire una soluzione inizialmente liscia fino alla sua singolarità pone una domanda diversa. È utile conservare questa distinzione, anche quando le idee sviluppate per un problema aiutano ad affrontarne un altro.

Un’altra tappa importante porta la firma di Dallas Albritton, Elia Brué e Maria Colombo, e il preprint di OpenAI la cita fra i precedenti. Nel 2022 hanno costruito due evoluzioni diverse di Navier–Stokes che partono entrambe dalla quiete, subiscono la stessa forza esterna e rispettano i naturali vincoli energetici della teoria di Leray. In quel caso, però, la forza è singolare all’istante iniziale. È un risultato di non unicità, correlato al problema della regolarità: nelle condizioni considerate, conoscere il dato iniziale e la forza non basta a determinare un’unica evoluzione. Il nuovo annuncio riguarda invece la formazione di una singolarità a partire da dati e forza completamente regolari. Il confronto fa capire quanto contino le ipotesi sulla forza quando si parla dei limiti della teoria matematica dei fluidi.

C’è poi la linea di Thomas Hou e dei suoi collaboratori, nata dalle simulazioni con cui Guo Luo e Hou avevano individuato uno scenario di singolarità per Eulero in presenza di una parete. Jiajie Chen e Tom Hou hanno successivamente sviluppato una dimostrazione con dati lisci ed energia finita, combinando analisi e calcoli numerici certificati: il controllo rigoroso degli errori rende i calcoli parte della dimostrazione. La nuova costruzione per Navier–Stokes è invece analitica e non richiede frontiere. Sono differenze significative, ma va ricordato anche che Chen e Hou studiano le soluzioni delle equazioni di Eulero senza forza esterna, mentre il risultato ora annunciato utilizza una forza costruita appositamente, per quanto liscia.

Il ruolo del calcolatore merita qualche parola in più. Cercare una dimostrazione con l’intelligenza artificiale, certificare stime numeriche e verificare una prova in Lean sono attività diverse. Lean controlla le deduzioni a partire dagli enunciati e dalle ipotesi codificati; ai matematici resta il compito di accertare la corrispondenza con il problema e comprendere le idee. Il 9 settembre Terence Tao ha descritto il risultato come una proposta formalmente verificata ancora in attesa di assimilazione e validazione da parte della comunità. Le discussioni online sull’attribuzione dei contributi e sulla chiarezza dell’esposizione ci ricordano che a un risultato non basta esser vero: prima di entrare nel patrimonio matematico deve essere capito nei suoi aspetti più profondi, condiviso e reso utilizzabile da altri.

Come sempre, e forse più che in altri casi, il risultato di OpenAI, qualora verificato, se chiude una storia, sembra aprirne molte altre. Posto che in natura è improbabile che degli infiniti possano svilupparsi, la domanda naturale è: in un fluido reale, che cosa accadrebbe? Una velocità infinita potrebbe segnalare che stiamo chiedendo troppo al modello. Le equazioni considerate descrivono un fluido incomprimibile con coefficienti costanti. Quando il moto si concentra in strutture sempre più piccole, occorre verificare se le ipotesi su cui si basa il modello restino appropriate. In un gas, per esempio, una scala del flusso confrontabile con la distanza media percorsa dalle molecole fra due urti richiede di considerare informazioni che la descrizione idrodinamica trascura. Anche il riscaldamento dovuto alla dissipazione e la dipendenza dei coefficienti dalla temperatura possono cambiare l’evoluzione. La singolarità suggerisce dunque una domanda sui limiti del modello, ma non dimostra, da sola, che cosa farà la materia reale.

Per i gas diluiti si può passare all’equazione di Boltzmann. Qui si descrive come le molecole sono distribuite nello spazio e nelle velocità: da questa distribuzione si ricavano la densità, la velocità media e la temperatura del gas. Si mantengono così informazioni che Navier–Stokes riassume in poche grandezze macroscopiche. Anche Boltzmann usa una distribuzione continua, ma offre una descrizione più dettagliata del moto molecolare. Il passaggio da Boltzmann a Navier–Stokes è stato giustificato rigorosamente in opportuni regimi limite, fra gli altri da François Golse e Laure Saint-Raymond. Questi teoremi non permettono però di trasferire automaticamente una specifica singolarità dal modello fluido a quello cinetico.

Collegare questi livelli significa affrontare una domanda che ha più di un secolo: come emergono le leggi dei fluidi dal moto di un numero enorme di molecole? È uno dei grandi temi del sesto problema di Hilbert, formulato nel 1900. La sua vitalità è testimoniata anche dalla medaglia Fields assegnata nel 2026 a Yu Deng, premiato fra l’altro per i risultati ottenuti con Zaher Hani e Xiao Ma sulla derivazione di Boltzmann dalla dinamica delle particelle. Anche su questo versante i contributi della scuola italiana, per esempio quelli di Mario Pulvirenti e Sergio Simonella, sono significativi, ed esplicitamente riconosciuti nel lavoro che è valso a Yu Deng il prestigioso riconoscimento.

Il passaggio a una descrizione più dettagliata non elimina automaticamente le singolarità. La regolarità globale di Boltzmann per dati generali presenta ancora importanti questioni aperte, e i teoremi di passaggio fra modelli valgono sotto ipotesi precise e molto restrittive. Un lavoro recente di William Golding, Christopher Henderson e Luis Silvestre individua però ostacoli al trasferimento di alcuni scenari di implosione di Eulero comprimibile alle equazioni di Boltzmann e Landau. Non riguarda direttamente la nuova costruzione incomprimibile forzata, ma suggerisce quanto possa essere delicato cambiare livello descrittivo. Resta da capire quali aspetti della concentrazione sopravvivano includendo effetti cinetici, riscaldamento o comprimibilità. È anche questo a rendere interessante una singolarità matematica. Ci costringe a chiederci dove finisce la validità di un modello che da due secoli consideriamo affidabile, e dove comincia il bisogno di una descrizione più profonda.