Alla luce dei recenti annunci di risultati sulle singolarità per le equazioni di Navier-Stokes, Alessio Figalli presenta una riflessione sulle conseguenze dell’intelligenza artificiale sulla ricerca in matematica, in particolare sull’allineamento e sul bilanciamento tra conoscere e imparare.

Dimostrare non basta

Intelligenza artificiale e futuro della ricerca matematica

di Alessio Figalli

L’annuncio di OpenAI sulla formazione delle singolarità per le equazioni di Navier–Stokes, nel caso in cui sia presente una forza esterna liscia, merita grande attenzione e la dimostrazione, accompagnata da una formalizzazione in Lean, richiederà ora un esame approfondito da parte della comunità matematica. Vorrei però soffermarmi soprattutto sulle conseguenze che sviluppi di questo tipo possono avere per la ricerca, a partire da un rischio che mi sembra importante discutere: quello di arrivare a risolvere un numero sempre maggiore di problemi imparando, al tempo stesso, sempre meno.

Dimostrare e comprendere

Risolvere un problema celebre può certamente costituire un’ottima misura delle capacità di un sistema, ma il progresso matematico non si valuta soltanto dal numero o dalla difficoltà dei problemi risolti, bensì anche dalle idee e dagli strumenti che quei risultati introducono e da ciò che, grazie ad essi, riusciamo successivamente a comprendere. Una dimostrazione corretta resta tale, indipendentemente da chi l’abbia prodotta, ma il suo valore scientifico dipende anche dalla comprensione che genera e dalle nuove possibilità che apre. Come sottolineato anche nella lettera «A Severe Misalignment of AI in Mathematics», la comprensione non è un beneficio accessorio della ricerca matematica, ma uno dei suoi scopi fondamentali.

Nel testo diffuso da OpenAI non è sempre facile riconoscere l’architettura della dimostrazione, capire perché vengano introdotte certe definizioni, quali ostacoli permettano di superare e dove si trovi il contributo realmente nuovo. Una volta ottenuta una prova, rimane quindi tutto il lavoro necessario per renderla comprensibile, discuterla e inserirla nella teoria esistente. Nella prassi matematica, spetta a chi presenta un risultato farsi carico di questo processo e riconoscere con precisione i contributi precedenti, così che, attraverso seminari, discussioni, semplificazioni e successive rielaborazioni, il risultato possa entrare a far parte di un patrimonio condiviso dal quale altri siano in grado di imparare e ripartire. Se la velocità con cui vengono prodotti nuovi risultati cresce molto più rapidamente della nostra capacità di assimilarli, questo equilibrio diventa sempre più difficile da mantenere.

Le idee che potrebbero non nascere

A questo rischio ne aggiungerei un altro, forse meno evidente ma non meno importante: alcune idee potrebbero non nascere affatto. Penso, per esempio, ai lavori di Ennio De Giorgi e John Nash sul diciannovesimo problema di Hilbert, i cui risultati sulla regolarità, ottenuti indipendentemente, non si limitarono a risolvere un problema celebre, ma introdussero metodi che hanno trasformato lo studio delle equazioni alle derivate parziali e la cui importanza va molto oltre la soluzione del problema originario.

Immaginiamo che, prima dei loro lavori, un’intelligenza artificiale avesse risolto quel problema con una dimostrazione corretta di duecento pagine, senza però offrire idee di analoga portata: De Giorgi e Nash avrebbero avuto la stessa motivazione a cercare una strada radicalmente diversa? Naturalmente non possiamo saperlo, e il punto non è sostenere che sia preferibile lasciare aperto un problema anziché risolverlo, ma riconoscere che la disponibilità di una soluzione modifica gli incentivi e i percorsi della ricerca e può quindi influire anche sulle idee che verranno, o non verranno, sviluppate in seguito.

Certamente una prima dimostrazione può stimolare la ricerca di una seconda, più semplice, più concettuale o più profonda e, proprio per questo, dovremo imparare a riconoscere sempre più valore a chi decide di ripensare da capo un problema già risolto, senza riservare tutto il prestigio alla prima soluzione.

D’altra parte, esiste un rischio diverso dalla semplice perdita di motivazione: una volta che una prova è disponibile, potremmo finire per ragionare soprattutto all’interno delle sue scelte, concentrandoci sul tentativo di semplificarla, estenderla o migliorarla, invece di domandarci quali altre strade avremmo potuto immaginare partendo direttamente dal problema. Questo accadeva già con le dimostrazioni umane, ma la scala e la velocità della produzione automatica rischiano di amplificare notevolmente il fenomeno.

Formare i matematici di domani

Le domande che oggi danno direzione alla ricerca vengono da noi, non dall’IA, ma la capacità di formularle non è indipendente dall’esperienza necessaria per cercarne le risposte. Per un dottorando o un postdoc, confrontarsi direttamente con un problema significa imparare a distinguere una difficoltà tecnica da un ostacolo concettuale, capire quando sia il momento di insistere e quando invece occorra cambiare prospettiva, riconoscere connessioni inattese e sviluppare gradualmente il giudizio necessario per capire quali direzioni meritino davvero di essere esplorate. È attraverso questo percorso, fatto di studio approfondito, tentativi, errori, intuizioni e confronto con altri matematici, che si costruiscono autonomia e profondità di pensiero.

Ma c’è anche un altro aspetto, più difficile da quantificare e tuttavia essenziale: la gioia di arrivare, dopo molta fatica, a capire finalmente perché qualcosa è vero e a trovare una dimostrazione propria. È anche questa esperienza a dare il desiderio di affrontare nuovi problemi e a sostenere una vita di ricerca. Se le risposte arrivano sistematicamente troppo presto, rischiamo quindi di indebolire non soltanto il processo attraverso cui si impara a fare matematica, ma anche una parte importante della motivazione che porta a continuare a farla.

Questa dimensione della formazione diventa particolarmente importante se si guarda a lungo termine. Se guardassimo soltanto alla produzione immediata di risultati, potremmo persino essere tentati di ridurre drasticamente l’investimento nei giovani ricercatori, affidandoci sempre di più a sistemi di IA capaci di produrre risultati più rapidamente. Sarebbe però una scelta estremamente miope, perché assumere e formare un giovane non significa soltanto ottenere il suo prossimo teorema, ma contribuire a costruire la capacità scientifica dei decenni successivi: ciò che, in termini di efficienza immediata, può apparire conveniente oggi rischia quindi di impoverire profondamente la matematica di domani.

Valutare la comprensione

Come comunità, abbiamo dunque la responsabilità di valorizzare la comprensione profonda dei giovani anche nelle decisioni che riguardano le assunzioni e la progressione delle carriere. Non possiamo chiedere loro di investire tempo nello studio, nella comprensione e nella costruzione di un’autonomia scientifica e, allo stesso tempo, premiarli soprattutto sulla base della quantità dei risultati prodotti. L’esperienza italiana degli indicatori quantitativi e delle soglie bibliometriche rende questa questione particolarmente concreta perché, se l’IA consentirà di produrre un numero crescente di pubblicazioni senza un corrispondente sviluppo dell’autonomia scientifica, il valore informativo di questi indicatori rischierà di ridursi ulteriormente.

Dovremmo quindi dare maggiore peso, accanto alla lettura dei lavori, a discussioni scientifiche approfondite con i candidati, chiedendo loro di spiegare le idee decisive, motivare le scelte compiute nelle dimostrazioni, discutere i limiti dei metodi utilizzati e indicare quali direzioni potrebbero essere sviluppate in seguito. Un confronto di questo tipo permetterebbe di valutare, con criteri quanto più possibile trasparenti, non soltanto ciò che una persona ha prodotto, ma anche la sua comprensione e la sua autonomia di pensiero. Ciò consentirebbe inoltre di valutarne la capacità di comunicare matematica, che resterà essenziale e potrebbe diventare ancora più importante in un contesto nel quale produrre testi e dimostrazioni sarà sempre più facile.

Una sfida per il futuro

L’IA è uno strumento potente e farà certamente parte del futuro della ricerca e, più in generale, della società; proprio per questo, come comunità scientifica, abbiamo la responsabilità di contribuire a orientarne l’uso non soltanto verso una maggiore efficienza, ma anche verso il bene comune.

La sfida, quindi, è trovare un modo di usare l’IA che aumenti le nostre possibilità senza impoverire la nostra comprensione, la nostra autonomia e la capacità delle generazioni future di far avanzare la matematica.